CULTIVONS NOS DIFFERENTIELLES

Soit une fonction quelconque y = f(x) représentée par la courbe ci-dessous .

Si l’on prend deux points A et B sur la courbe avec B proche de A on peut dire que la différentielle au point A est la quantité dy / dx .

C’est la pente de la droite (D) qui passe par A et B.
Voilà c’est tout
mais……..

 

 

 

DERIVER C’EST PRENDRE LA TANGENTE
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…. la dérivée au point A est la limite de la différentielle dy/ dx quand dx tend vers 0 . C’est la pente de la tangente à la courbe au point A. Sa valeur
numérique est égale à la pente de ladroite . On associe donc à une fonction
y = f(x) une autre fonction y’ = f'(x) qui
associe à chaque point (x,y) une valeur y’ = pente de la tangente à ce point.

 

1 er cas : y = ax .

La courbe est ici une droite de pente a. Il est évident que tous les points de cette droite ont la même droite comme tangente et que
y’ = a.
La dérivée est alors une constante.

2 ème cas y = sin x

 

 

En jaune la courbe pour y = sin x. On voit d’après ce qui a été vu que sin 0 = 0, sin Pi/2 = 1,sin Pi = 0 , sin 3Pi/2 = -1 , sin 2Pi = 0 etc….
Si l’on regarde la valeur de la dérivée de la courbe jaune on voit que la tangente a une pente maximum au point 0. Sin x tend vers x quand x tend vers 0 donc limite de dy / dx = 1 et la pente de la tangente en x = 0 est de 1. On remarque au passage que c’est la valeur du cosinus au point x = 0.
Si l’on observe que la pente de la tangente en Pi/2 est nulle on voit que c’est aussi la valeur de cos x au même point.
La pente de la tangente de la courbe jaune est à nouveau maximum en Pi mais dans l’autre sens ( dy/dx < 0 car dy <0 ) : elle vaut -1 comme la valeur du cosinus au même point.
La pente de la tangente de la courbe jaune s’annule à nouveau en 3Pi/2. C’est encore
la valeur du cosinus ( cos 3Pi/2 = 0 ). On retrouve la pente de 1 en x = 2Pi qui correspond à cos 2Pi.

Bref comme on le constate la dérivée de sin x c’est cos x.

sin ‘ x = cos x


D’autre part nous avons vu
que sin ( x + Pi/2) = cos x
Donc

Dérivée de sin x = sin’ x = sin ( x + Pi/2)


Une dernière notion sur les dérivées pour bien comprendre les rapports courants/tensions dans les impédances complexes que sont les selfs et les capacités :
Si X est elle-même une fonction, par exemple une fonction linéaire du temps
X = at
Nous avons vu que la limite de dX/dt quand dt tend vers 0 est a. Dans le cas général si nous avons Y = f(X) et que X = g(t) alors Y = f ( g(t) ) .

Que vaut alors la dérivée de Y par rapport à t ?

Il suffit de retourner à nos différentielles : Y’ = limite de dY/dt quand dt tend vers 0 .

On voit ici que la dérivée est égale au produit des deux dérivées. Donc si Y = sin X et X = a t alors Y = sin (a t) et Y’ = cos (a t) x a
d’où en conclusion :

Y = sin (at)
=> Y’ = a sin (at + Pi/2)


Cette formule est fondamentale pour bien comprendre les rapports courants/tensions dans les impédances complexes que sont les selfs et les capacités d’autant que tous les signaux , même les plus complexes, sont composés d’une multitude de simples signaux sinusoïdaux superposés.

 

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