Impédance et calcul de la fréquence de coupure

[Pote Gui]

J'étais en train de me relire Blencowe ce matin dans le métro quand je suis tombé tout à coup sur son calcul de la fréquence de coupure au niveau du condensateur de couplage inter-étage. Il considère que, d'après Thévenin, l'impédance de sortie du tube précédent est en série avec la résistance de grille de l'étage suivant (pp. 41 et 42).
Si on considère que la source de tension est en court-circuit et qu'on raisonne en alternatif, la charge voit les résistances en parallèle et non pas en série (où alors, il y a un truc qui m'échappe), non?
De plus, pourquoi devrait-on prendre en compte l'impédance qui précède le condensateur, dans le calcul de la fréquence de coupure d'un filtre passe-haut (CR)??

[bilbo_moria]

Oui, je suis comme toi, je trouve cela un poil déroutant ... si j’ai le temps (et le courage), je poserai sur papier « l’équation » (un bien grand mot) des impédances afin de voir comment se comporte le pont diviseur sur Rg en termes de fréquence ...

Sans papier, mais avec PSPICE, voilà ce que ça donne :

FiltreRCR-100k-Schematic.PNG (4.94 Kio) Vu 7964 fois

Le schéma simplissime ... je pars d’une résistance R1 de sortie à 1Ω, et ma résistance de charge R3 est à 100k (un peu débile, mais c’est pour les courbes qui vont suivre). Le calcul donne un fc à 72Hz, ce qui correspond bien à la courbe suivante :

Si maintenant, je décide que R1 (résistance de sortie) passe à 100k, le calcul donne 36Hz, et on peut vérifier sur la courbe l’exactitude du calcul de fc :

Bon, on n’échappera pas au papier et au crayon, zut !

[a-wai]

Alors attention à la confusion : quand on met un court-circuit à la place de la source de tension, c'est pour déterminer l'impédance de sortie de l'ensemble tube/condo/Rg, c'est à dire l'impédance du signal qui arrive sur la grille du tube suivant, qui voit donc arriver un signal d'impédance ((Zout + C) // Rg). En général on s'en tape un peu d'ailleurs, puisqu'aux fréquences qui nous intéressent et dans les circuits habituels, C est considéré comme nul et Zout << Rg. Donc on considère que l'impédance du signal arrivant aux tubes vaut Zout (+ les éventuelles autres R sur le chemin du signal)

Pour la détermination de la réponse en fréquence liée au condo de couplage, et donc la détermination de la valeur dudit condo, on étudie le filtre situé en sortie du tube, c'est à dire le quadripole suivant :

Code : Tout sélectionner

   ___    C
o-|___|---||---o
  Zout       |
             _
            | |
         Rg |_|
             |
o--------------o

En gros le signal entrant dans le quadipole a une impédance nulle (le seul élément en amont étant un géné de tension idéal), qui augmente en traversant Zout et C, et c'est cette impédance (Zout + C) qui est utilisée pour calculer l'atténuation du signal par le pont diviseur formé avec Rg.

La clé est donc là : on ne raisonne plus sur un circuit de thévenin mais sur un quadripole, le tout étant de judicieusement placer les entrées et sorties du quadripole ! (typiquement, si on considère que l'entrée du quadripole est entre Zout et C, ce qu'on ferait intuitivement, le résultat serait faussé par le fait que l'impédance du signal entrant est non nulle)

In fine, comme le dit Blencowe, en général Zout << Rg, donc la différence de comportement induite par Zout est négligeable et on n'en tient pas compte

[Pote Gui]

Exact! Il faut distinguer et ne pas confondre (ce que malheureusement Blencowe fait).
Cela dit, en partant de la bonne vieille formule du diviseur de tension, je ne trouve pas qu'on ajoute Zout et Rg, mais qu'on soustrait Zout de Rg.
En effet, on cherche la fréquence fc pour laquelle Zout + Zc=Rg.
Il découle que l'on a 1/(Cω)+Zout=Rg, soit 1/(Cω)=Rg-Zout.
Comme ω=2πfc, on a 1/(2πCfc)=(Rg-Zout).
Ainsi, fc=1/(2πC x (Rg-Zout)).

Pour autant la modélisation de bilbo tend à confirmer Blencowe; je dois donc faire erreur...

[Totof]

Bonsoir

Pote-Gui

Ci-joint une petite feuille libre office bien pratique

Farf40.tar.bz2

(52.21 Kio) Téléchargé 220 fois

Avec une formulation claire

Bonne journée

[bilbo_moria]

En effet, on cherche la fréquence fc pour laquelle Zout + Zc=Rg.

Yep, c’est ce qui doit être faux dans ton raisonnement. J’avoue que sur Wikipedia, par exemple, ils exhibent un truc du genre fc est la fréquence telle que Zc = R (bon, après tout, c’est peut-être la définition et ils ont alors le droit )

Mais dans notre cas, je ne pense pas que l’on puisse écrire que fc vaut pour Zout + Zc=Rg ... quant à faire les calculs « papier », je m’y suis essayé et j’ai bien foiré

[Pote Gui]

Merci Totof encore une fois pour le partage des moyens et des connaissances !
Cependant, cela n'explique pas pourquoi on ajoute Rth (ou Requ) à Rg pour le calcul du filtre ...
Ce qui me fait plaisir, c'est que ma démarche sur Thévenin était bonne, mais je ne parviens toujours pas à la conclusion de la somme de Zout et Rg, malheureusement. Il me manque une étape ou un élément pour finir .

[Totof]

Bonsoir

Tu est en alternatif et par rapport au C les 2 R sont de part et d'autre donc reçoivent un swing Ac toute les deux
qui crée une tension aux bornes des résistances , loi d'hom toussa AMHA hein

Bonne nuit

[a-wai]

J'avoue, c'est bizarre... Je me suis dit, "c'est la faute aux complexes" (la sommes des modules n'est pas forcément le module de la somme toussa toussa), et en fait... Bah rien, ça merde aussi !
Il y a forcément un problème dans l'histoire, puisque si on postule que Zout + Zc = Rg, on se retrouve forcément avec un Zout - Rg (ou Rg - Zout) au dénominateur, ce qui signifie que la fréquence de coupure est infinie quand Zout = Rg... Et on sait tous que ce n'est pas le cas !

Donc oui, le raisonnement est foireux, reste à comprendre où ça merde

Tu est en alternatif et par rapport au C les 2 R sont de part et d'autre donc reçoivent un swing Ac toute les deux
qui crée une tension aux bornes des résistances , loi d'hom toussa AMHA hein

Oui, c'est même la base du principe du diviseur de tension, d'ailleurs il y aussi une tension aux bornes du condo en alternatif...

EDIT : WAIT !!!!!!!! EUREKA !

EDIT 2: en fait ce qui suit n'est pas tout à fait juste, je le laisse pour l'historique de la discussion mais la démo correcte est quelques posts plus bas

Ce qu'on cherche (et que montre très bien la simu de bilbo, encore qu'en ayant les mêmes échelles en ordonnée sur les 2 graphes ce serait plus évident), ce n'est pas les -6dB par rapport au signal d'origine (sortant du géné), mais les -6dB par rapport au signal haute fréquence !!!! (enfin, le signal nominal quoi, indépendant de l'influence du condo)

Je m'explique : à 20kHz (par exemple), un condo de 22n se comporte comme un fil. On a donc un rapport d'atténuation valant Rg/(Zout + Rg), c'est notre niveau de sortie nominal.
La fréquence de coupure du filtre est celle pour laquelle l'atténuation est double et vaut donc Rg / (2 * (Zout + Rg)).
Or le circuit présenté a un rapport d'atténuation valant Rg/((Zout + Zc) + Rg), donc par identification :

Rg / (2 * (Zout + Rg)) = Rg / (Zout + Zc + Rg)

Donc (Zout + Rg + Zout + Rg) = (Zout + Zc + Rg), soit Zc = Zout + Rg, et non Zc + Zout = Rg !

De là, on déduit facilement que Zout + Rg = 1 / (2 * pi * fc * C), soit fc = 1 / (2 * pi * C * (Zout + Rg))

La boucle est bouclée, je peux aller me coucher l'esprit libre

[Totof]

Bonjour A-Waï

Chapeau

On se couchera tous ce soir moins con

Bonne journée

[Pote Gui]

La fréquence de coupure du filtre est celle pour laquelle l'atténuation est double et vaut donc Rg / (2 * (Zout + Rg))

Je bloque un peu là-dessus; tu pourrais développer? Cela aurait-il un rapport avec les -6dB?

[bilbo_moria]

La démo de Arnaud et très chouette, mais effectivement, la partie « atténuation en double » frotte, me semble-t-il (et il me semble que sur un topic sur un simple filtre RC, tu disais la même chose mais en fait, il s’agit de -3dB soit une atténuation en racine carrée de 2 ...). Peut-être qu’on compare les racines, dans ton raisonnement, puis qu’on élève tout au carré et qu’on retombe sur nos pattes (faudrait prendre un papier, mais là, c’est l’heure de la sieste )

Pour Pote Gui : non, les -6dB ne viennent pas de là : simplement, pour la simul et les courbes, j’ai pris Rload = 100k et Rout = 100k pour que ce soit démonstratif, et comme le souligne Arnaud, à « hautes fréquences », la capa est un fil passant, du coup on a un simple pont div 100k / 100k, atténuation de 2 => -6dB (en voltage)

[a-wai]

La fréquence de coupure du filtre est celle pour laquelle l'atténuation est double et vaut donc Rg / (2 * (Zout + Rg))

Je bloque un peu là-dessus; tu pourrais développer?

Yep, en fait je me suis un peu emmêlé les pinceaux, j'ai longtemps eu du mal avec -3dB ou -6dB (puis il était tard, y'avait eu apéro, toussa toussa )

De base, on a donc :

Us = (Rg / (Zout + Rg)) * Ue

A la fréquence de coupure, Usc = Us / sqrt(2) (on divise par sqrt(2) et non par 2), soit :

Usc = (Rg / (sqrt(2) * (Zout + Rg))) * Ue

Le truc se situe au niveau de l'atténuation du pont diviseur : au dénominateur, on ne peut pas simplement ajouter les modules (valeurs réelles) de Zc, Zout et Rg puisque ce sont des nombres complexes : Zout et Rg sont uniquement résistifs, donc ce sont des réels purs, par contre Zc est capacitif et donc imaginaire pur.
La somme des 3 grandeurs est donc un nombre complexe avec une partie réelle (Zout + Rg) et une partie imaginaire (Zc). On doit donc calculer le module de ce nombre, qui n'est pas la somme des modules (ce serait trop facile ! )

Et donc |Zout + Rg + Zc| = sqrt((Zout + Rg)² + Zc²)

L'atténuation du pont diviseur peut donc s'écrire Rg / sqrt((Zout + Rg)² + Zc²)

À la fréquence de coupure, on a donc Rg / sqrt((Zout + Rg)² + Zc²) = Rg / (sqrt(2) * (Zout + Rg))
D'où sqrt((Zout + Rg)² + Zc²) = sqrt(2) * (Zout + Rg)
On met tout au carré, on a alors (Zout + Rg)² + Zc² = 2 * (Zout + Rg)², soit Zc² = (Zout + Rg)², ou encore Zc = Zout + Rg.

La suite du raisonnement ne change pas, bref le résultat était bon, la démo un peu moins

[bilbo_moria]

Super, Arnaud !

[jptrol]

Salut tout le monde,

J'étais à l'étranger au 1er mai aussi n'ai-pas eu le plaisir de participer à ce débat. Ma remarque c'est ( et là je ne suis pas d'accord avec A-wai) que Zout n'est en aucun cas purement résistif et donc qu'il faut garder à l'esprit que lorsque l'on écrit Zout + Rg on écrit la somme de deux complexes dont la partie imaginaire du second est nulle. Zout ne représente pas seulement la charge d'anode en parallèle sur la résistance interne mais aussi la charge de la cathode qui est en série avec la résistance interne, qu'elle soit découplée ou pas : Zout = RA// (rak + (µ+1) Zk) avec Zk = Rk // Ck. On considère qu'au delà de la fréquence de coupure liée à la cathode Zk est nulle mais en-dessous ce n'est pas le cas, surtout pour le problème qui nous intéresse ici en sortie avec un passe-haut dont la fréquence de coupure peut être du même ordre que celle de la cathode ( qui n'est pas 1/2piRkCk attention)

Si j'appelle Ve1 la tension d'entrée de l'étage 1 et Ve2 celle de l'étage 2 je peux écrire le gain comme étant :
Ve2 / Ve1 = -µ Rg x 1/ ( Rg + Zc + Zout) avec la partie imaginaire de Zout qui peut être du même ordre que Zc.

(remplacer Rk par Zk dans le schéma suivant)


En pratique il faut séparer les deux aspects : calculer la vraie fréquence de coupure basse au niveau de la cathode :
http://tabwyp.free.fr/G5/Chap3_cc_freq_ ... ie_G5.html

puis calculer le simple passe-haut en sortie avec Rg et Zc et sans reprendre Zout que l'on a déjà pris en compte : les deux courbes s'ajoutent pour rejoindre la simulation de Bilbo. A mon avis , raisonner autrement conduit à s'emmêler les pinceaux et à prendre deux fois ce qui a déjà été calculé.