CHAPITRE 1 :

Filtres passe-baspasse-haut

Principes des mesures et des calculs :


Filtres passe-bas, passe-haut

Comme nous le disions à l’article “bande passante”, dans le domaine de l’audio les fréquences audibles s’étalent d’environ 16 Hz à 20 000 Hz.

Tous les dispositifs qui ne transmettent pas intégralement toutes les fréquences présentes en entrée filtrent celles-ci.

On peut par exemple choisir de transmettre les fréquences basses et atténuer les fréquences aigües. On a alors affaire à un filtre passe-bas. Si l’on choisit au contraire de retenir les fréquences aigües et d’atténuer les fréquences basses on a affaire à un filtre passe-haut.

Nos amplis guitare renferment un certain nombre de filtres plus ou moins complexes. Le plus complexe est le tone-stack (l’ensemble correcteur de tonalité) constitué de résistances dont certaines variables ( les potentiomètres) et de capacités .

Nous verrons plus loin que les étages d’entrée de chaque module amplificateur constituent des passe-bas. Nous verrons aussi que chaque dispositif de couplage entre les étages constitue un passe-haut. Ces deux derniers ne répondent pas à un effet recherché mais plutôt à une contrainte technologique qu’il est impératif de prendre en compte.

La compréhension des simples filtres passe-bas et passe-haut permet de bien calculer les bandes passantes et de maîtriser les outils de détermination modernes ( logiciels) des tone-stacks.

Filtre passe-bas :

Un filtre passe-bas élémentaire est constitué d’une résistance et d’une capacité :

Nous savons déjà ( revoir qu’est-ce qu’une capacité ) que l’impédance de la capacité décroit lorsque la fréquence croît ( Zc = 1 / j Cw avec w = 2 Pi f) . Nous voyons donc que pour une fréquence infinie nous aurons un court-circuit franc sur la capacité et que Vs = 0. A contrario lorsque w = 0, c’est-à-dire pour une fréquence nulle (c’est ainsi que l’on peut aussi parler du courant continu : c’est un courant alternatif de fréquence nulle ) donc si w =0 , alors Zc est infinie et Vs = Ve. Un passe-bas laisse donc passer le courant continu.

Considérons le schéma ci-dessus constitué de deux impédances Z1 et Z2 :

On peut appliquer directement la loi d’ohm et celle du diviseur de tension :

\(\frac {V_s}{V_e}=\frac {Z_2}{Z_2+Z_1}\)

 

Nous savons que Z1 = R et Z2 = 1 / jCw.
Nous pouvons donc écrire que la
transmittance T(jw) = Vs / Ve vaut:

\(\frac {V_s}{V_e}=\frac {Z_2}{Z_2+Z_1}=\frac{\frac{1}{jC\omega}}{R+\frac{1}{jC\omega}}=\frac{1}{1+jRC\omega}\)

L’expression complexe du passe-bas est donc :

\( T (j\omega)=\frac {V_s}{V_e}=\frac{1}{1+jRC\omega}\)

 

Nous retrouvons ce que nous disions plus haut : si w = 0 alors Vs = Ve . Si w = infini alors Vs = 1 / infini = 0.

Notre raisonnement sur les filtres est à rapprocher de celui sur la bande passante .

L’intérêt est maintenant de connaître la fréquence de coupure fc c’est-à-dire la fréquence à partir de laquelle la puissance en sortie chute de moitié. Ici nous dirons que c’est la fréquence pour laquelle le rapport des tensions est de 1 / racine de 2 = 0.707 ( revoir l’exposé au besoin ).

Ainsi la bande passante de notre filtre sera de 0 Hz à fc Hz

Le module de notre nombre complexe est ici :

\( \left|\frac {V_s}{V_e}\right|=\frac{1}{\sqrt(1+R^2C^2\omega^2)}\)

La fréquence de coupure correspondra à :

\( \left|\frac {V_s}{V_e}\right|=\frac{1}{\sqrt(2)}\)

 

d’où il vient :

\(RC\omega=1\)

\(\omega_c=\frac{1}{ RC}\)

\(f_c=\frac{1}{ 2\Pi RC}\)

 

Comme nous l’avons vu à l’article sur les dB cette fréquence est celle où l ‘atténuation du filtre est de – 3 dB.

Ainsi toutes les fréquences supérieures à fc sont considérées comme atténuées .

Nous allons voir comment se présente la courbe de réponse d’un filtre passe-bas :

– en abscisse nous lisons les fréquences sur une échelle logarithmique qui permet de voir sur une plage plus large.
– en ordonnée nous lisons les rapports Vs/Ve en décibels .

L’échelle des fréquences s’étale ici de 1 Hz à environ 8 kHz.

La fréquence de coupure à -3 dB est à peu près à 33,8Hz. Avec les valeurs de R =470 ohms et de C = 10 µF la fréquence de coupure exacte est de  f = 1 / 2 Pi RC = 33,8628 Hz.

Accessoirement on peut aussi tracer la réponse en phase,bien que ce ne soit pas très utile pour nos problèmes d’ampli guitare :

On voit ici en ordonnée l’angle de déphasage en fonction de la fréquence .Celui-ci va de 0° à – 90° (ou  – Pi/2) lorsque la fréquence tend vers l’infini. A la fréquence de coupure fc le déphasage est de – 45° ou -Pi/4.

Afin de simplifier les calculs de bande passante d’un étage amplificateur à triode que nous verrons plus loin , il est nécessaire de bien comprendre pourquoi notre fréquence de coupure est déphasée de – 45 °

Revenons à l’expression de la transmittance:

\( T (j\omega)=\frac {V_s}{V_e}=\frac{1}{1+jRC\omega}\)

A la fréquence de coupure : RCw = 1 donc cette transmittance vaut 1/ 1 + j.  Le déphasage est donc l’argument de ce nombre c’est à – dire:   arg (1) – arg(1 + j) =  0° – 45° = -45°.
(revoir les nombres complexes si nécessaire).


Filtre passe-haut :

Un filtre passe-haut élémentaire est aussi constitué d’une résistance et d’une capacité :


Nous voyons ici que le continu ( fréquence = 0 – cf plus haut) n’est pas transmis .  La capacité présente une impédance décroissante à mesure que la fréquence croît. Ainsi Vs = Ve lorsque cette fréquence est infinie : nous avons bien un passe haut.

Si l’on reprend le principe du diviseur de tension vu avec le passe-bas ci-dessus avec Zc = impédance de C = 1 / jCw nous avons :

\( \frac {V_s}{V_e}=\frac{R}{R+Z_C} = \frac{R}{R+\frac{1}{jCR\omega}} = \frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}\)

 

L’équation de la transmittance du passe-haut est donc :

\( \frac {V_s}{V_e} = \frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}\)

Nous retrouvons ici le raisonnement sur le schéma :

  • Si \(\omega\) tend vers l’infini Vs/Ve tend vers 1 ( 0 dB)
  • Si \(\omega\) = 0 alors Vs/Ve = 0 et Vs = 0 donc l’atténuation est maximale et nous avons bien un passe-haut.

Nous allons donc calculer la fréquence de coupure fc à partir de laquelle la transmittance dépasse – 3dB et tend ensuite vers 0 dB

En appliquant toujours le même principe , puisque dans la bande passante le rapport est de 1 ( 0 dB) à la fréquence de coupure le rapport sera de0.707  (  1 / racine de 2). ( revoir la notion de bande passante au besoin).

Donc à fc :

\(\left |\frac {V_s}{V_e}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

D’après ci-dessus le module de la transmittance vaut :

\(\left |\frac {V_s}{V_e}\right|=\frac{\sqrt{0 + R^2 C^2 \omega^2}}{\sqrt{1 + R^2 C^2 \omega^2}} \)

et :

\(\frac {1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{0 + R^2 C^2 \omega^2}}{\sqrt{1 + R^2 C^2 \omega^2}} \Rightarrow 2 R^2 C^2 \omega^2 = 1 +R^2 C^2 \omega^2  \)

d’où il vient :

\(R C \omega = 1 \)

tout comme sur le passe-bas !

\(\omega_c = \frac {1}{R C}\)

\(f_c = \frac {1}{2 \pi R C}\)

Il n’y a donc qu’une seule formule à retenir pour les deux types de filtres.

La courbe de réponse du passe-haut tracée suivant les principes vus ci-dessus  se présente donc ainsi (exemple pour R = 470 kOhms et C = 22 nF) :

La fréquence de coupure à – 3dB est de 1 / 2 Pi 47000022e-9 = 15,39 Hz.

La courbe de réponse en phase est ici la suivante :

 

Le tracé est fait ici entre 0,1 Hz et 8kHz.  On voit que pour les fréquences proches du 0 le déphasage est de + 90° ou + Pi/2.  Pour les fréquences dans la bande passante le déphasage tend vers 0°.

Ici le déphasage à la fréquence de coupure est de + 45° . En effet :

\( \frac {V_s}{V_e} = \frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}\)

Avec RCw = 1 nous avons  Vs/Ve = j / 1+ j.  Le déphasage est donc arg (j) – arg (1 + j) = 90° – 45° = 45°.

Ceci termine l’exposé sur les filtres élémentaires dont le calcul est fondamental pour réaliser nos amplis guitare.



Principes des mesures et des calculs

Maintenant que les bases sont installées, posons nous la question de la conception des étages de notre ampli : si nous concevons un étage , nous devons nous poser les questions suivantes :

  1. Comment cet étage sera-t’il alimenté au repos ? Autrement dit comment va-t’il se comporter en courant continu en absence de tout signal alternatif. C’est la question de sa polarisation.
  2. Comment va-t’il réagir aux signaux alternatifs
    • comment va-t’il influer sur le montage qui est en amont , donc quelle va être son impédance d’entrée?
    • comment va-t’il traiter le signal ( amplifier, atténuer) autrement dit quelle va être sa transmittance ou fonction de transfert ?
    • comment va-t’il s’adapter à l’étage suivant autrement dit quelle va être son impédance de sortie

Ces 3 aspects caractérisent tout quadripôle au sens où nous l’avons vu plus haut

.

LA POLARISATION :

Prenons un schéma très simple comme le suivant ( c’est un cas d’école ici ).

La tension B+ est la tension d’alimentation continue. Les tensions continues sont fixées par la valeur des résistances et donc le courant continu Ip dit de polarisation . Nous avons deux valeurs de tension aux bornes de R2 :

  • l’une vaut ( application de la loi d’ohm ) B+ x ( R2 + R3 ) / ( R1 + R2 + R3 )
  • l’autre B+ x R3 / ( R1 + R2 + R3 ).

 

Le signal alternatif entrant en C1 et sortant en C2, les capacités C1 et C2 qui bloquent naturellement le courant continu permettent d’isoler le courant de polarisation et de l’empêcher de se propager en amont et en aval. Ce sont des capacités dites de couplage.

En ce qui concerne les montages amplificateurs à triode ou pentode le problème de la polarisation est capital et fera l’objet d’un chapitre complet. Il répond aux mêmes impératifs que ci-dessus : fixer les potentiels des tensions continues au repos.

LE COMPORTEMENT EN ALTERNATIF :

PRINCIPE DU SCHEMA DIT EQUIVALENT POUR L’ALTERNATIF

Lorsque l’on étudie la propagation du signal alternatif ( celui qui nous intéresse en fait dans la production du son ) on simplifie le problème en faisant abstraction de tous les éléments liés au courant continu. On établit le schéma équivalent pour l’alternatif, dit aussi pour petits signaux car leur amplitude en tension est bien sûr plus faible que les tensions d’alimentation.

Le noeud du problème est de considérer que la tension d’alimentation B+ est en court-circuit pour l’alternatif

A partir de ce moment le schéma se présente ainsi :

En repérant bien la tension d’entrée Ve et la tension de sortie Vs , nous voyons bien maintenant que R1 est à la masse et le schéma se simplifie comme suit :

Pour simplifier encore dans un premier temps , nous pouvons considérer que les capacités C1 et C2 sont choisies pour avoir une impédance très faible par rapport aux résistances. On les assimile alors à des court-circuits pour l’alternatif et le schéma se présente alors ainsi :

Principe du calcul et de la mesure de l’impédance d’entrée :

A chaque fois que l’on parle ici de mesure ou de calcul on parle de la même chose : on fait la même chose avec une calculatrice devant un schéma qu’avec un générateur BF et un multimètre devant un montage :

  1. On ouvre le circuit de sortie : pour le calcul on ne met pas d’impédance de charge . Pour la mesure on met un voltmètre d’impédance d’entrée infinie en sortie.
  2. On branche un générateur BF ( alternatif donc bien sûr) sur l’entrée. Il est représenté ici par un générateur de Thévenin avec une impédance de sortie idéale rg = 0.

Soit I le courant d’entrée : l’impédance d’entrée Ze vaut :

\(Z_e = \frac {V_e}{I}\)

Pour la mesure ici il est simple de mesurer I2 qui vaut Vs / R3 et I1 qui vaut Ve / R1 , de faire la somme I = I1+I2 puis de calculer Ze = Ve / I.

La mesure standard de l’impédance d’entrée pour les montages plus complexes s’effectue avec un voltmètre et un ampèremètre :

On mesure alors directement Ve et I et Ze = Ve / I.

Mais sans faire aucune mesure on peut dire que nous allons trouver ici une impédance d’entrée qui vaut \(R_1 // (R_2 + R_3)\) (revoir au besoin la mise en parallèle de résistances)

En développant on écrit :

\(Z_e = R_1 // (R_2 + R_3) = \frac {R_1 (R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3} = \frac {R_1 R_2 + R_1 R_3}{R_1+R_2+R_3}\)

Mais il est plus simple de garder la notation : Ze = R1//(R2+R3)

A partir du moment où nous connaissons l’impédance d’entrée Ze nous pouvons reconsidérer la capacité de couplage C1 et vérifier la bande passante du filtre passe-haut ainsi formé :

Principe du calcul et de la mesure de l’impédance de sortie :

Le principe est le suivant :

L’impédance de sortie est :

\(Z_S = \frac{V_S}{I}\)

Par le calcul il vient de l’analyse simple du schéma :

\(Z_S = \frac{V_S}{I_2+I_3}= R_2 // R_3 = \frac{R_2 R_3}{R_2 +R_3}\)

Retenir de ce calcul que pour mesurer ou calculer l’impédance de sortie d’un montage on court-circuite l’entrée et on mesure l’ impédance vue sur la sortie en branchant un générateur.

Attention néanmoins : lorsque l’on dit que l’on court-circuite l’entrée pour mesurer l’impédance de sortie, il faut considérer si cela correspond au circuit en situation avec son étage précédent. Si l’impédance de sortie de l’étage précédent est non négligeable et que nous sommes en présence d’un circuit passif , celle-ci doit être prise en compte. Nous devons faire le schéma suivant :


En prenant en compte l’impédance de sortie Zs1 de l’étage précédent, c’est la tension Vs1 qu’il convient alors d’annuler et il n’est plus possible de faire directement un court-circuit sur l’entrée pour une mesure matérielle.

Nous pouvons considérer alors le résultat :

L’impédance de sortie est toujours :

\(Z_S = \frac{V_S}{I}\)

Mais elle vaut maintenant :

\(Z_S = R_3 // (R_2 + (R_1 // Z_S1))\)

 

En pratique on utilise, en mesure uniquement et pour éviter ce genre d’ambiguité, une autre méthode :

Méthode pratique de la mesure d’une impédance de sortie à l’aide d’un générateur BF

Dans les 4 schémas suivants sont représentés les générateurs de Thévenin résultant du branchement d’un générateur BF à l’entrée du montage quelconque dont on veut mesurer l’ impédance de sortie Zs. On procède à 2 mesures :
  1. S’il est possible de faire une mesure à vide on procède ainsi :

A mesure à vide au voltmètre numérique de la tension VS :

B connaissant Vs on mesure sur une charge Rch connue la tension

\(V = V_S \frac {Rch}{Rch + Z_S}\)

 

La seule inconnue étant Zs il est facile de déduire sa valeur :

\(V = V_S \frac {Rch}{Rch + Z_S}\)

\(Rch + Z_S = Rch \frac {V_S}{V}\)

\(Z_S = Rch \frac {V_S}{V} – Rch = Rch(\frac{V_S}{V} – 1)\)

\(Z_S = Rch(\frac{V_S}{V} – 1)\)

 

2. S’il est impossible de faire une mesure à vide on procède ainsi :

On fait deux mesures à l’aide de deux résistances de charges de valeurs différentes mais proches de la valeur de la charge nominale. Appelons Rch1 et Rch2 ces résistances :


Nous obtenons deux équations à deux inconnues Zs et Vs ( Vs que nous n’avons pas pu mesurer à vide)
que nous pouvons réécrire ainsi :

\(V_S = V_1\frac {Rch_1 + Z_S}{Rch_1}\)

et

\(V_S = V_2\frac {Rch_2 + Z_S}{Rch_2}\)

Il vient :

\(V_1+ \frac {V_1 Z_S}{Rch_1} = V_2 + \frac {V_2 Z_S}{Rch_2}\)

 

\(V_1 – V_2 = \frac {V_2 Z_S}{Rch_2} – \frac {V_1 Z_S}{Rch_1}\)

 

et finalement :

\(Z_S = \frac{V_1 – V_2} {\frac {V_2}{Rch_2} – \frac {V_1}{Rch_1}}\)

L ‘impédance de sortie est donc la différence des tensions divisée par la différence des courants en veillant à ce que l’impédance soit positive ( attention au signe).

Fonction de transfert ou transmittance du montage :

Si nous reprenons le schéma fonctionnel équivalent sur notre circuit à trois résistances nous voyons tout de suite le rapport entre Vs et Ve : c’est un simple diviseur de tension avec R2 et R3 :

\(\frac{V_S}{V_e} = \frac {R_3}{R_2 + R_3}\)

 

Il s’agit donc d’un simple atténuateur.

En adoptant le schéma universel de tout quadripôle amplificateur ou atténuateur nous pouvons dire que le schéma de gauche ci-dessous est équivalent au schéma de droite pour l’alternatif :

<==>

Sur le schéma de droite Rc représente l’impédance de charge c’est-à-dire l’impédance d’entrée de l’étage suivant.

Si l’on prend en compte la remarque sur l’impédance de sortie Zs1 de l’étage précédent alors le schéma équivalent devient :


Sans oublier qu’alors :

\(V_e = V_S1 \frac {R_1 // (R_2 + R_3)}{Z_S1 + R_1 // (R_2 + R_3)}\)

 

Nous verrons plus loin qu’un étage à circuit actif ( amplificateur ou directement adaptateur d’impédance) permet de mieux isoler les impédances d’entrée et de sortie).

On peut ici donner le schéma universel auquel on peut rapporter tout montage :

Sur ce schéma sont représentés :

      • l’impédance d’entrée Ze
      • la fonction de transfert A ( amplification ou atténuation)
      • l’impédance de sortie Zs

En charge nous aurons :

\(V_S = A V_e \frac {Z_L}{Z_L + Z_S}\)

Pour que le montage soit un amplificateur il suffit que la valeur absolue de A soit supérieure à 1 . On parle en effet de valeur absolue car le signe de A détermine la phase du signal par rapport à l’entrée. Si Vs est en opposition de phase avec Ve alors A est négatif.
Si la valeur absolue de A est inférieure à 1 , le montage est atténuateur.

Générateur de tension / générateur de courant :

Nous avons donné ci-dessus un schéma universel sur le modèle du générateur de tension ( ou, avec son impédance de sortie, générateur de Thévenin ). Nous pourrions donner le même schéma en prenant pour modèle un générateur de courant ( ou , avec son impédance de sortie, générateur de Norton ).

En tension :

<==>
En courant :

Les deux schémas sont équivalents. Mais alors quelles sont les caractéristiques du générateur de Norton ?

Nous nous rappelons que Eth = IN RN et que Rth = RN (revoir au besoin la conclusion sur le théorème de Norton ).

Nous en déduisons que Z ( à droite ) = Zs ( à gauche ) : c’est l’impédance de sortie RN ou Rth .

Le courant I du générateur vaut IN = Eth / RN = A Ve / Zs

Le modèle universel en courant se présente donc ainsi :

Le courant I généré par le générateur vaut

\(I = \frac {A V_e}{Z_S}\)

I = A.Ve / Zs

Nous pouvons faire une rapide vérification en appliquant le diviseur de courant sur les impédances Zs et ZL. Le courant I’ dans ZL vaut I’ = I . Zs / (Zs + ZL). Donc Vs = I’. ZL = I . ZLZs / (Zs + ZL)
D’où Vs = A.Ve .ZL / (Zs + ZL), ce qui est bien la formule obtenue avec le générateur de tension.

Les générateurs qui sont le plus souvent utilisés avec une charge inférieure à leur impédance de sortie sont à considérer comme des générateurs de courant ex : les pentodes. Le courant délivré varie relativement peu avec la charge.

Au contraire les générateurs dont l’impédance de sortie est très faible devant la charge seront à considérer comme des générateurs de tension avec lesquels le courant sera tributaire principalement de la charge. ex : les transistors de sortie en audio.

 

La grandeur qui permet de passer de la valeur de la tension d’entrée Ve à la valeur du courant I généré s’appelle la transconductance. On voit qu’elle vaut ici A / Zs. Rappelons que A est une grandeur sans dimension. Donc la transconductance notée gm est homogène à l’inverse d’une résistance. Elle est exprimée le plus souvent en mA par volts.

\(gm = \frac {I}{V_e} = \frac {A}{Z_S} \)

 

Nous verrons que cette grandeur est une donnée fondamentale dans l’amplification à tubes.

 


Méthode de calcul d’une tension de sortie fonction de plusieurs entrées indépendantes :

Le problème se pose ainsi: prenons le cas de deux tensions d’entrée donnant une tension de sortie fonction des deux entrées.

 

 

Comment calculer Vs fonction des deux tensions d’entrée Ve1 et Ve2 INDEPENDANTES ?

 

 

Lorsque la tension de sortie dépend de deux ou plusieurs tensions d’entrée INDEPENDANTES, la tension de sortie résultante est la somme des tensions résultant de chacune des tensions d’entrée faisant chacune l’objet d’un calcul distinct, l’autre ou les autres étant mises à la masse.

 

Prenons l’exemple le plus simple du sommateur de tensions sur une impédance considérée comme infinie. Nous considérons les générateurs de Thévenin Ve1 et Ve2 comme idéaux , avec une impédance de sortie nulle.

 

En appliquant la méthode citée plus haut nous commençons par mettre Ve2 à la masse pour calculer Vs1 = f(Ve1) :

C’est un simple diviseur de tensions. Il apparaît :

Faisons de même avec Ve1 :

 

Il apparaît de même :

Il en résulte que :

 

Cette méthode s’applique aux circuits simples comme aux plus complexes.

 

 


 


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mis à jour le 29 novembre 2018

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